微分積分例

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ を $(x - 3) e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.7.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3.2

$- 6 e^{2 x}$ から $e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.5

$e^{2 x}$ を $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.5.1

$e^{2 x}$ を $2 e^{2 x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.5.2

$e^{2 x}$ を $- 7 e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.5.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ です。

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

ステップ 2.3.2

$e^{2 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$e^{2 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{2 x} = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について $e^{2 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

ステップ 2.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.3.2.2.3

$e^{2 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.3.3

$2 x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$2 x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 7 = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $2 x - 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$2 x = 7$

ステップ 2.3.3.2.2

$2 x = 7$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$2 x = 7$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{2}$

ステップ 2.3.4

最終解は $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{7}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{7}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{7}{2}$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

ステップ 4.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.1.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.1.2.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.4.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

ステップ 4.1.2.2.4.2

$7$ から $6$ を引きます。

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{7} \cdot 2$

ステップ 4.1.2.4

$2$ を $e^{7}$ の左に移動させます。

$2 e^{7}$

ステップ 4.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例