微分積分例

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

ステップ 1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

ステップ 2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

書き換えます。

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

ステップ 3.2

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

ステップ 3.3

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

ステップ 3.5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 3.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 3.5.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 3.5.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.5.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - t$

ステップ 3.5.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

ステップ 3.5.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

ステップ 3.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

ステップ 3.7.2

$\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

ステップ 3.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

ステップ 3.9

極限を求めます。

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ステップ 3.9.1

式を簡約します。

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ステップ 3.9.1.1

$- t$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

ステップ 3.9.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

ステップ 3.9.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

ステップ 3.9.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 3.10

指数 $- t$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- t}$ が $0$ に近づきます。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 3.11

極限を求めます。

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ステップ 3.11.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 3.11.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.11.2.1

$0$ から $1 \cdot 1$ を引きます。

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.11.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.2.2.1

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.11.2.2.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.11.2.2.3

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 3.11.2.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

ステップ 3.11.2.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$

微分積分 例

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