微分積分例

$y = x e^{2 x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{2 x})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = x$ および $g (y) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d y} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x (e^{2 x} \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d y} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x (e^{2 x} (2 x')) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x (e^{2 x} (2 x')) + e^{2 x} x'$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

項を並べ替えます。

$2 e^{2 x} x x' + e^{2 x} x'$

ステップ 3.6.2

$2 e^{2 x} x x' + e^{2 x} x'$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x' = 1$ として書き換えます。

$2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x' = 1$

ステップ 5.2

$2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$ の因数を並べ替えます。

$2 x x' e^{2 x} + x' e^{2 x} = 1$

ステップ 5.3

$x' e^{2 x}$ を $2 x x' e^{2 x} + x' e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x' e^{2 x}$ を $2 x x' e^{2 x}$ で因数分解します。

$x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} = 1$

ステップ 5.3.2

$x' e^{2 x}$ を $x' e^{2 x}$ で因数分解します。

$x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} \cdot 1 = 1$

ステップ 5.3.3

$x' e^{2 x}$ を $x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$

ステップ 5.4

$x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$ の各項を $e^{2 x} (2 x + 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$ の各項を $e^{2 x} (2 x + 1)$ で割ります。

$\frac{x' e^{2 x} (2 x + 1)}{e^{2 x} (2 x + 1)} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' e^{2 x} (2 x + 1)}{e^{2 x} (2 x + 1)} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

ステップ 5.4.2.2

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

微分積分 例

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