微分積分例

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{π}{4}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

ステップ 1.1.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

ステップ 1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ とします。

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3.3

$\frac{π}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π x}{4}$ の微分係数は $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3.5

$\frac{π}{4}$ に $1$ をかけます。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3.6

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

ステップ 1.3.7

項を簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

ステップ 1.3.7.2

$\frac{π}{4}$ と $- 8$ をまとめます。

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 1.3.7.3

$\frac{π \cdot - 8}{4}$ と $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ をまとめます。

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

ステップ 1.3.7.4

$- 8$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

ステップ 1.3.7.5

$- 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.5.1

$4$ を $- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

ステップ 1.3.7.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.5.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

ステップ 1.3.7.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.3.7.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

ステップ 1.3.7.5.2.4

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ を $1$ で割ります。

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 2 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ の微分係数は $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ です。

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ とします。

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.2

$\frac{π}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π x}{4}$ の微分係数は $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.4

$\frac{π}{4}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.5

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

ステップ 2.3.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.6.2

$\frac{π}{4}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.6.3

$\frac{π \cdot - 2}{4}$ と $π$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 2.4

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 2.5

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

ステップ 2.8

$\frac{- 2 π^{2}}{4}$ と $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

ステップ 2.9

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.1

$2$ を $- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

ステップ 2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

ステップ 2.9.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.9.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

ステップ 4

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ の各項を $- 2 π$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ の各項を $- 2 π$ で割ります。

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

ステップ 4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

ステップ 4.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

ステップ 4.2.2.2

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

ステップ 4.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

$2$ を $- 2 π$ で因数分解します。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

ステップ 4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

ステップ 4.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

ステップ 4.3.2

$0$ を $- π$ で割ります。

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

ステップ 8

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{π} π$

ステップ 9.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{π} π$

ステップ 9.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x = 2$

ステップ 10

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

ステップ 11

$x$ について解きます。

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ステップ 11.1

$π$ から $0$ を引きます。

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

ステップ 11.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

ステップ 11.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 11.2.3

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 11.2.5.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.3

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

ステップ 11.4.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1.2.1

$π$ を $3 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

ステップ 11.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

ステップ 11.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x = 2 \cdot 3$

ステップ 11.4.2.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$x = 6$

ステップ 12

方程式 $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ に対する解です。

$x = 2, 6$

ステップ 13

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$2$ を $π (2)$ で因数分解します。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 14.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 14.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 14.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 14.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

ステップ 14.2.2

$π$ から $π$ を引きます。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

ステップ 14.2.3

$0$ を $2$ で割ります。

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

ステップ 14.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

ステップ 14.3

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π^{2}}{2}$

ステップ 15

$x = 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極大値です

ステップ 16

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

ステップ 16.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

ステップ 16.2.1.3

式を書き換えます。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 16.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

ステップ 16.2.3

$π$ から $π$ を引きます。

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

ステップ 16.2.4

$0$ を $2$ で割ります。

$f (2) = 8 \cos (0)$

ステップ 16.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (2) = 8 \cdot 1$

ステップ 16.2.6

$8$ に $1$ をかけます。

$f (2) = 8$

ステップ 16.2.7

最終的な答えは $8$ です。

$y = 8$

ステップ 17

$x = 6$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$2$ を $π (6)$ で因数分解します。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 18.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 18.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 18.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

ステップ 18.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

ステップ 18.2.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

ステップ 18.2.3

$3 π$ から $π$ を引きます。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

ステップ 18.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

ステップ 18.2.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

ステップ 18.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

ステップ 18.2.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

ステップ 18.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

ステップ 18.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.1

$- 1$ を $π^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

ステップ 18.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{π^{2}}{2}$

ステップ 18.4

$- - \frac{π^{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{π^{2}}{2}$

ステップ 18.4.2

$\frac{π^{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π^{2}}{2}$

ステップ 19

$x = 6$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 6$ は極小値です

ステップ 20

$x = 6$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

ステップ 20.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

ステップ 20.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

ステップ 20.2.1.1.4

式を書き換えます。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

ステップ 20.2.1.2

$\frac{π}{2}$ と $3$ をまとめます。

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 20.2.1.3

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 20.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

ステップ 20.2.2.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 20.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 20.2.2.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$f (6) = 8 \cos (π)$

ステップ 20.2.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

ステップ 20.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 20.2.5

$8 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (6) = 8 \cdot - 1$

ステップ 20.2.5.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f (6) = - 8$

ステップ 20.2.6

最終的な答えは $- 8$ です。

$y = - 8$

ステップ 21

$f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ の極値です。

$(2, 8)$ は極大値です

$(6, - 8)$ は極小値です

ステップ 22

微分積分 例

微分積分例