微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{\sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.5.2

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.2.5.3

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - lim_{x \to 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - 6} - lim_{x \to 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.5

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.6

$x$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{\sqrt{15 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0}{\sqrt{15 - 6} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$15$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 3}$

ステップ 1.1.3.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{\sqrt{5 x - 6} - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.5

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $\sqrt{5 x - 6} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x - 6}$ を ${(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 5 x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.8.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x - 6$ とします。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x - 6] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 6] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x - 6$ で置き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 6] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.3

総和則では、 $5 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.6

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.8.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.12

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.13

$5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.14

$\frac{1}{2}$ と ${(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{{(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.15

$\frac{{(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $5$ をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{{(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.16

$5$ を ${(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5 \cdot {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.9

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 1.3.10

$\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{5}$

ステップ 1.5

${(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{5 x - 6}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

ステップ 2.2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

ステップ 2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$(2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

ステップ 2.4

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

ステップ 2.5

$\frac{2}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6}$

ステップ 2.6

根号の下に極限を移動させます。

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - 6}$

ステップ 2.7

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 6}$

ステップ 2.8

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

ステップ 2.9

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 3

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 3.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$(6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4.2

$6$ から $1$ を引きます。

$5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4.4

$5$ に $3$ をかけます。

$2 \sqrt{15 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4.5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$2 \sqrt{15 - 6}$

ステップ 4.6

$15$ から $6$ を引きます。

$2 \sqrt{9}$

ステップ 4.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{3^{2}}$

ステップ 4.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \cdot 3$

ステップ 4.9

$2$ に $3$ をかけます。

$6$

微分積分 例

微分積分例