微分積分例

$\int 45 \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 1

$45$ は $x$ に対して定数なので、 $45$ を積分の外に移動させます。

$45 \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2

$\sin^{2} (x)$ を因数分解します。

$45 \int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ に書き換えます。

$45 \int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$45 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 5

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ を掛けます。

$45 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1 u^{2}$ を $- u^{2}$ に書き換えます。

$45 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$45 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 6.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$45 \int - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$45 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$45 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$45 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$45 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

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ステップ 11.1.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$45 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 11.1.2

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$45 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

ステップ 11.2

簡約します。

$45 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$45 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x)) + C$

微分積分 例

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