微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (2 t)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (2 t)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (2 t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

ステップ 1.1.2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 t$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 t)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \cos (2 t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.3.1.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.3.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{2} = \cos (2 t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

ステップ 1.5.1.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \cos (π)$

ステップ 1.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = - \cos (0)$

ステップ 1.5.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 3

$(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 4.2

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.4

$u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.5

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

ステップ 8

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ および $0$ で $- \frac{1}{2} u_{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

ステップ 9.2

$- 1$ および $0$ で $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 9.3.3

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 9.3.4

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 9.3.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 9.3.6

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 9.3.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

ステップ 9.3.8

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

ステップ 9.3.9

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

ステップ 9.3.10

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9.3.11

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.3.12

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

ステップ 9.3.13

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

ステップ 9.3.14

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.3.14.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

ステップ 9.3.14.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 9.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 1}{4}$

ステップ 9.3.16

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{4}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{4}$

10進法形式：

$0.75$

微分積分 例

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