微分積分例

$(x^{2} + 1) \sin (3 x - 1)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = \sin (3 x - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\sin (3 x - 1)] + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$(x^{2} + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$(x^{2} + 1) (\cos (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + 0) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) \cdot 3 + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.6.2

$3$ を $(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)$ の左に移動させます。

$3 \cdot ((x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.7

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + 0)$

ステップ 3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} + 3 \cdot 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

ステップ 4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x^{2} + 3) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\cos (3 x - 1) (3 x^{2} + 3) + 2 x \sin (3 x - 1)$

微分積分 例

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