微分積分例

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

ステップ 1

$44$ は $x$ に対して定数なので、 $44$ を積分の外に移動させます。

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 4 \tan (t)$ とします。次に $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $4 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

積の法則を $4 \tan (t)$ に当てはめます。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$16$ を $16 \tan^{2} (t) + 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$16$ を $16 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.2.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.2.3

$16$ を $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ で因数分解します。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$16 \sec^{2} (t)$ を ${(4 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$4 \sec (t)$ を ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ で因数分解します。

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.2.1.2

$4 \sec (t)$ を $4 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 3.2.1.3

共通因数を約分します。

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 3.2.1.4

式を書き換えます。

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

ステップ 3.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$4$ を $4 \tan (t)$ で因数分解します。

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

ステップ 3.2.3.2

積の法則を $4 (\tan (t))$ に当てはめます。

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.3.3

$4$ を $2$ 乗します。

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{16}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{16}$ を積分の外に移動させます。

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{16}$ と $44$ をまとめます。

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 5.2

$44$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$4$ を $44$ で因数分解します。

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sec (x)$ を $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ に書き換えます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 6.2

逆数の公式を当てはめます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 6.3.2

まとめる。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 6.3.3

$\csc (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 6.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.4.1

積の法則を $\frac{1}{\cot (t)}$ に当てはめます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 6.3.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 6.3.5

$\cot (t)$ と $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 6.3.6

今日数因数で約分することで式 $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ を約分します。

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ステップ 6.3.6.1

$1$ を掛けます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 6.3.6.2

$\cot (t)$ を ${\cot (t)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

ステップ 6.3.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

ステップ 6.3.6.4

式を書き換えます。

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

ステップ 6.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

ステップ 7

$- \csc (t)$ の微分係数が $\csc (t) \cot (t)$ なので、 $\csc (t) \cot (t)$ の積分は $- \csc (t)$ です。

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

ステップ 8.2

$\frac{11}{4}$ と $\csc (t)$ をまとめます。

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

ステップ 9

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{x}{4})$ で置き換えます。

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

交点 $(1, \frac{x}{4})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{x}{4})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{x}{4})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ は $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ です。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

ステップ 10.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.3

積の法則を $\frac{x}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.4

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.7

$\frac{16 + x^{2}}{16}$ を ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 10.1.7.1

$16 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.7.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.7.3

分数 $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.9

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{16 + x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

ステップ 10.1.10

まとめる。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

ステップ 10.1.11

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.11.1

共通因数を約分します。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

ステップ 10.1.11.2

式を書き換えます。

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

ステップ 10.2

$11$ と $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

ステップ 10.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

ステップ 10.4

まとめる。

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

ステップ 10.5

$11$ に $1$ をかけます。

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

ステップ 10.6

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$

微分積分 例

微分積分例