微分積分例

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (2 x^{4} + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (2 x^{4} + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

ステップ 4

$(2 x^{4} + 3) x^{- 2}$ を掛けます。

$\int 2 x^{4} x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

ステップ 5

指数を足して $x^{4}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$\int 2 (x^{- 2} x^{4}) + 3 x^{- 2} d x$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 x^{- 2 + 4} + 3 x^{- 2} d x$

ステップ 5.3

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\int 2 x^{2} + 3 x^{- 2} d x$

$\int 2 x^{2} + 3 x^{- 2} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

ステップ 9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

ステップ 11.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$