微分積分例

$\int {(\frac{8 + r}{r})}^{2} d r$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積の法則を $\frac{8 + r}{r}$ に当てはめます。

$\int \frac{{(8 + r)}^{2}}{r^{2}} d r$

ステップ 1.2

$r^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(8 + r)}^{2} {(r^{2})}^{- 1} d r$

ステップ 1.3

${(r^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(8 + r)}^{2} r^{2 \cdot - 1} d r$

ステップ 1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int {(8 + r)}^{2} r^{- 2} d r$

ステップ 2

$u_{1} = 8 + r$ とします。次に $d u_{1} = d r$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = 8 + r$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d r}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$8 + r$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [8 + r]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $8 + r$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$ です。

$\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$

ステップ 2.1.3

$8$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d r} [r]$

ステップ 2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 8)}^{- 2} d u_{1}$

ステップ 3

$u_{2} = u_{1} - 8$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{2} = u_{1} - 8$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$u_{1} - 8$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 8]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $u_{1} - 8$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

ステップ 3.1.4

$- 8$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(u_{2} + 8)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 4

$u_{3} = {u_{2}}^{2}$ とします。次に $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{3} = {u_{2}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

${u_{2}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

ステップ 4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{2}$

ステップ 4.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と ${(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}$ をまとめます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

ステップ 5.2

$\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2}$ と ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ をまとめます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

ステップ 5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

ステップ 5.4

${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ を $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{3}}$ を ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

ステップ 7.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ を ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

ステップ 7.3

${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

ステップ 7.4

${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

ステップ 7.4.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

ステップ 7.4.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

ステップ 7.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}$ を $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.5

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.7

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.8

${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ と $8$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.12.1

共通因数を約分します。

ステップ 8.12.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.13

簡約します。

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.14

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.16

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.18

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.20

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.21

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.22

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.22.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.22.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.22.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.22.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.22.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.22.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.25

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.26

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.26.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.26.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.26.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.26.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.26.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.26.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.27

$8$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.28

$8 {u_{3}}^{- 1}$ と $8 {u_{3}}^{- 1}$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8.29

${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3}$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int 16 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

ステップ 11

$16$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (16 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

ステップ 12

${u_{3}}^{- 1}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

ステップ 13

$64$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $64$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

ステップ 14

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

ステップ 15

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 16

簡約します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| u_{3} |) - \frac{128}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$u_{3}$ のすべての発生を ${u_{2}}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {u_{2}}^{2} |) - \frac{128}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 17.2

$u_{2}$ のすべての発生を $u_{1} - 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(u_{1} - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 17.3

$u_{1}$ のすべての発生を $8 + r$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 18.1.1

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(r + 0)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.1.2

$r$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.1.3

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.1.4

$r$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.1.5

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.1.6

$r$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.2

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 18.2.2.1

${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 18.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{1}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.2.2.2

簡約します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 18.2.3

${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 18.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

ステップ 18.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

ステップ 18.2.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{1}) + C$

ステップ 18.2.4

簡約します。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r) + C$

ステップ 18.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2})) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4

簡約します。

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ステップ 18.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.4.1.1

$2$ を $16 \ln (r^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.1.3

式を書き換えます。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.4.2.1

$- \frac{128}{r}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 128}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.2.2

$2$ を $- 128$ で因数分解します。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 64)}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.2.3

共通因数を約分します。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.2.4

式を書き換えます。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.4.3.1

$2$ を $2 r$ で因数分解します。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 (r)) + C$

ステップ 18.4.3.2

共通因数を約分します。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

ステップ 18.4.3.3

式を書き換えます。

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + r + C$

ステップ 18.5

分数の前に負数を移動させます。

$8 \ln (r^{2}) - \frac{64}{r} + r + C$

微分積分 例

微分積分例