微分積分例

$f (x) = x^{5} + x^{4}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $x^{5} + x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $x^{5} + x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 x^{4} + 4 x^{3}$ です。

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

ステップ 5.2

$x^{3}$ を $5 x^{4} + 4 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x^{3}$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

ステップ 5.2.2

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4 = 0$

ステップ 5.2.3

$x^{3}$ を $x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4$ で因数分解します。

$x^{3} (5 x + 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$5 x + 4 = 0$

ステップ 5.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5.5

$5 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$5 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$5 x + 4 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $5 x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$5 x = - 4$

ステップ 5.5.2.2

$5 x = - 4$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$5 x = - 4$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{5}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4}{5}$

ステップ 5.6

最終解は $x^{3} (5 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{4}{5}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - \frac{4}{5}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.2

$20$ に $0$ をかけます。

$0 + 12 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 12 \cdot 0$

ステップ 9.1.4

$12$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{4}{5}) \cup (- \frac{4}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ の区間 $(- \infty, - \frac{4}{5})$ から $- 3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f' (- 3) = 5 \cdot 81 + 4 {(- 3)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.2

$5$ に $81$ をかけます。

$f' (- 3) = 405 + 4 {(- 3)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f' (- 3) = 405 + 4 \cdot - 27$

ステップ 10.2.2.1.4

$4$ に $- 27$ をかけます。

$f' (- 3) = 405 - 108$

ステップ 10.2.2.2

$405$ から $108$ を引きます。

$f' (- 3) = 297$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $297$ です。

$297$

ステップ 10.3

一次導関数 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ の区間 $(- \frac{4}{5}, 0)$ から $- 0.4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 0.4$ で置換えます。

$f' (- 0.4) = 5 {(- 0.4)}^{4} + 4 {(- 0.4)}^{3}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 0.4$ を $4$ 乗します。

$f' (- 0.4) = 5 \cdot 0.0256 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.2

$5$ に $0.0256$ をかけます。

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 0.4$ を $3$ 乗します。

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 \cdot - 0.064$

ステップ 10.3.2.1.4

$4$ に $- 0.064$ をかけます。

$f' (- 0.4) = 0.128 - 0.256$

ステップ 10.3.2.2

$0.128$ から $0.256$ を引きます。

$f' (- 0.4) = - 0.128$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 0.128$ です。

$- 0.128$

ステップ 10.4

一次導関数 $5 x^{4} + 4 x^{3}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 5 {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = 5 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.2

$5$ に $16$ をかけます。

$f' (2) = 80 + 4 {(2)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = 80 + 4 \cdot 8$

ステップ 10.4.2.1.4

$4$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = 80 + 32$

ステップ 10.4.2.2

$80$ と $32$ をたし算します。

$f' (2) = 112$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $112$ です。

$112$

ステップ 10.5

$x = - \frac{4}{5}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - \frac{4}{5}$ は極大値です。

$x = - \frac{4}{5}$ は極大値です

ステップ 10.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 10.7

$f (x) = x^{5} + x^{4}$ の極値です。

$x = - \frac{4}{5}$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

$x = - \frac{4}{5}$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例