微分積分例

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$6 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $π$ に近づくと定数である $4 π^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $π$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 π^{2} - 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$- 6 π π$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.2.1

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.1.2.2

$π$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π^{1}) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{1 + 1} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.2

$2 π^{2}$ から $6 π^{2}$ を引きます。

$\frac{- 4 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.3

$- 4 π^{2}$ と $4 π^{2}$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $π$ に近づくと定数である $π^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$π^{2}$ から $π^{2}$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to π} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x π]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 6 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x π$ の微分係数は $- 6 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$4 π^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 π^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$4 x - 6 π$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{2} - π^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

ステップ 1.3.9

$- π^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x}$

ステップ 1.4

$4 x - 6 π$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) - 6 π}{2 x}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $- 6 π$ で因数分解します。

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + 2 (- 3 π)}{2 x}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2 (2 x) + 2 (- 3 π)$ で因数分解します。

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

ステップ 1.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 (x)}$

ステップ 1.4.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

ステップ 1.4.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to π} \frac{2 x - 3 π}{x}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 2.2

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 2.4

$x$ が $π$ に近づくと定数である $3 π$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to π} x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $π$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 π - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 π - 3 π}{π}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{- π}{π}$

ステップ 4.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- π}{π}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

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