微分積分例

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \tan (8 x) - 6$ とします。次に $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \tan (8 x) - 6$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\tan (8 x) - 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $\tan (8 x) - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $8 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.4

$8$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.5

$8$ を $\sec^{2} (8 x)$ の左に移動させます。

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 \sec^{2} (8 x)$ と $0$ をたし算します。

$8 \sec^{2} (8 x)$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

ステップ 2.2

$8$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (8 x) - 6$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$

微分積分 例

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