微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.2.6.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$- x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- \frac{3}{20}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{20} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.4.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} (5 x^{4})$

ステップ 1.4.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 5 (\frac{3}{20}) x^{4}$

ステップ 1.4.4

$- 5$ と $\frac{3}{20}$ をまとめます。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4}$

ステップ 1.4.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15}{20} x^{4}$

ステップ 1.4.6

$\frac{- 15}{20}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15 x^{4}}{20}$

ステップ 1.4.7

$- 15$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.1

$5$ を $- 15 x^{4}$ で因数分解します。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{20}$

ステップ 1.4.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)}$

ステップ 1.4.7.2.2

共通因数を約分します。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4}$

ステップ 1.4.7.2.3

式を書き換えます。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 3 x^{4}}{4}$

ステップ 1.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3 x^{4}}{4}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- \frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3 x^{4}}{4}$ の微分係数は $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.4

$- 4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.5

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.6

$\frac{- 12}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.7

$- 12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

$4$ を $- 12 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.7.2.4

$- 3 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 3 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

ステップ 2.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$ です。

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

微分積分 例

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