微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin (3 x)}{4 \sin (4 x)}$

ステップ 1

$\frac{3}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 2.1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

ステップ 2.1.3.1.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.3.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 2.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{3}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.6

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 2.3.7

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 2.3.7.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 2.3.7.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 2.3.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

ステップ 2.3.10

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (4 x) \cdot 4}$

ステップ 2.3.11

$4$ を $\cos (4 x)$ の左に移動させます。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{4 \cos (4 x)}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{3}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\cos (4 x)}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

ステップ 3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

ステップ 3.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

ステップ 3.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

ステップ 3.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 5.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 5.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{9}{16} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 5.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

ステップ 5.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 5.4

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{9}{16} \cdot 1$

ステップ 5.5

$\frac{9}{16}$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{16}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{9}{16}$

10進法形式：

$0.5625$

微分積分 例

微分積分例