微分積分例

$f (x) = x^{4} + x + 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $x^{4} + x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 1 + 0$

ステップ 1.5

$4 x^{3} + 1$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} + 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

ステップ 2.3.2

$12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} + 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $x^{4} + x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 1 + 0$

ステップ 4.1.5

$4 x^{3} + 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} + 1$ です。

$4 x^{3} + 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$4 x^{3} = - 1$

ステップ 5.3

$4 x^{3} = - 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4 x^{3} = - 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

ステップ 5.5

$\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- \frac{1}{4}$ を ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

ステップ 5.5.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

ステップ 5.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

ステップ 5.5.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

ステップ 5.5.4

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 5.5.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 5.5.6

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

ステップ 5.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.7.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.5.7.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.5.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.5.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 5.5.7.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.5.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.5.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.5.7.5.4.2

式を書き換えます。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 5.5.7.5.5

指数を求めます。

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 5.5.8

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.8.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 5.5.8.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 5.5.8.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.8.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 5.5.8.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 5.5.8.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 5.5.9

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.9.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{2}$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

ステップ 5.5.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.9.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.9.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

ステップ 8

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 9.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

ステップ 9.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 9.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 9.2.2

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

ステップ 9.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

ステップ 9.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

ステップ 9.4.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

ステップ 9.4.2.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

ステップ 9.4.2.3

式を書き換えます。

$3 \sqrt[3]{4}$

ステップ 10

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ は極小値です

ステップ 11

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

括弧を削除します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 11.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.2.4.1

${\sqrt[3]{2}}^{4}$ を $\sqrt[3]{2^{4}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.4.2

$2$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.4.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 11.2.2.4.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.4.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.4.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.6

$2$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.6.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.6.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

ステップ 11.2.3

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

ステップ 11.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.2.4.1

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

ステップ 11.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

ステップ 11.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

ステップ 11.2.6

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.6.1.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

ステップ 11.2.6.1.2

$\sqrt[3]{2}$ から $4 \sqrt[3]{2}$ を引きます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

ステップ 11.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

ステップ 11.2.7

最終的な答えは $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ です。

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

ステップ 12

$f (x) = x^{4} + x + 2$ の極値です。

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例