微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{2 x + 5}}{x - 2}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 - \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $2$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.6

$x$ が $2$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 - \sqrt{4 + 5}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$4$ と $5$ をたし算します。

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{2 - 2}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{2 x + 5}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $3 - \sqrt{2 x + 5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x + 5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 5}$ を ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 5$ とします。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 5$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.4

総和則では、 $2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.4.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.13

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.14

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.15

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.16

$\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.17

$2$ を ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.19

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.20

式を書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 2} - \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{2 x + 5}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} - \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} - \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$

ステップ 2.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}$

ステップ 2.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}$

ステップ 2.5

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}$

ステップ 2.7

$x$ が $2$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}$

ステップ 3

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 5}}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 5}}$

ステップ 4.2

$4$ と $5$ をたし算します。

$- \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{3}$

10進法形式：

$- 0.\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例