微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.4

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.6.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.2.6.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}$

ステップ 1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $e$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - e}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{1} - e}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

簡約します。

$\frac{0}{e - e}$

ステップ 1.3.3.2

$e$ から $e$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} - 1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

ステップ 3.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

ステップ 3.7

総和則では、 $e^{x} - e$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}$

ステップ 3.8

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}$

ステップ 3.9

$- e$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- e$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + 0}$

ステップ 3.10

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

ステップ 4.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{e^{x}}$

ステップ 5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

ステップ 6

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

ステップ 7

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

ステップ 8

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

ステップ 9

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

ステップ 10

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

ステップ 11

指数に極限を移動させます。

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 12

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 12.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 12.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 12.4

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{1}}$

ステップ 13

答えを簡約します。

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ステップ 13.1

$2 \cdot 1 \cdot 1 + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

ステップ 13.2

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$2 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 13.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

ステップ 13.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + 1}{e^{1}}$

ステップ 13.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{e^{1}}$

ステップ 13.3

簡約します。

$\frac{3}{e}$

微分積分 例

微分積分例