微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

ステップ 1

$x \log (x)$ を $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\log (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\log (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (10)}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 2.3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

ステップ 2.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

ステップ 2.5

$\frac{1}{x \ln (10)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

ステップ 2.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.1

$x$ を $x \ln (10)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

ステップ 2.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

ステップ 2.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\ln (10)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

ステップ 5

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

ステップ 5.2

$0$ に $\frac{1}{\ln (10)}$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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