微分積分例

$e^{x} (1 + e^{- x})$

ステップ 1

$e^{x} (1 + e^{- x})$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{x} (1 + e^{- x}) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} e^{- x} d x$

ステップ 4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{x} + e^{x - x} d x$

ステップ 4.3.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\int e^{x} + e^{0} d x$

$\int e^{x} + e^{0} d x$

ステップ 4.4

$e^{0}$ を簡約します。

$\int e^{x} + 1 d x$

$\int e^{x} + 1 d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{x} d x + \int d x$

ステップ 6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} + C + \int d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$e^{x} + C + x + C$

ステップ 8

簡約します。

$e^{x} + x + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $e^{x} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$