微分積分例

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to - 1} \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1.2.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to - 1} - x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \ln (- lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1.2.4.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1.2.4.2.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.3.1.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.3.1.5

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.3.1.6

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{3 \cdot - 1 + 3} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0}{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (- x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.4

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{- 1 (- 1)}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (- \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.6

$\frac{1}{x}$ と $- 2$ をまとめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.10

$\frac{2}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.12

$\frac{2}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

ステップ 3.13

総和則では、 $e^{3 x + 3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.14.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 3$ とします。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.2

総和則では、 $3 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.6

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.7

$3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14.8

$3$ を $e^{3 x + 3}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.15

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + 0}$

ステップ 3.16

$3 e^{3 x + 3}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$

ステップ 5

$\frac{2}{x}$ に $\frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x (3 e^{3 x + 3})}$

ステップ 6

$\frac{2}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 1} \frac{1}{x (e^{3 x + 3})}$

ステップ 7

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

ステップ 8

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

ステップ 9

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3}}$

ステップ 10

指数に極限を移動させます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3}}$

ステップ 11

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3}}$

ステップ 12

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}}$

ステップ 13

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

ステップ 14

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

ステップ 14.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3}}$

ステップ 15

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

まとめる。

$\frac{2 \cdot 1}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

ステップ 15.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 \cdot (- 1 (- 1))}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

ステップ 15.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3 (e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

ステップ 15.3

分母を簡約します。

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ステップ 15.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{3 e^{- 3 + 3}}$

ステップ 15.3.2

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{2}{3 e^{0}}$

ステップ 15.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

ステップ 15.4

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{3}$

微分積分 例

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