微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \sec (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \sec (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sec (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $\sec (x) \tan (x)$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $\cos (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + 0}$

ステップ 1.3.9

$- \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x)}$

ステップ 1.4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2.3

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2.5.2

$\tan (0)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.2.5.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 2.1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.4

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.7

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.10

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 2.3.11

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\tan^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.5

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.6

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.7

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $\sec^{3} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.8

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 3.9

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

ステップ 5.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

ステップ 5.1.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

ステップ 5.1.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

ステップ 5.1.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 + 1^{3}}{\cos (0)}$

ステップ 5.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0 + 1}{\cos (0)}$

ステップ 5.1.7

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\cos (0)}$

ステップ 5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{1}$

ステップ 5.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

微分積分例