微分積分例

$\int \frac{r}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} d r$

ステップ 1

$u = r^{2} - x^{2}$ とします。次に $d u = 2 r d r$ すると、 $\frac{1}{2} d u = r d r$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = r^{2} - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d r}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$r^{2} - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [r^{2} - x^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $r^{2} - x^{2}$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 r + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$- x^{2}$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $- x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$2 r + 0$

ステップ 1.1.5

$2 r$ と $0$ をたし算します。

$2 r$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 6.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $r^{2} - x^{2}$ で置き換えます。

${(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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