微分積分例

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

ステップ 1

$u = x - x^{2}$ とします。次に $d u = (1 - 2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 2 x$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$- 2 x + 1$

ステップ 1.1.5

項を並べ替えます。

$1 - 2 x$

ステップ 1.2

$u = x - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 - 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0$

ステップ 1.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 2 - 4$

ステップ 1.5.2

$2$ から $4$ を引きます。

$u_{upper} = - 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$- 2$ および $0$ で $\frac{1}{4} u^{4}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{4}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2.3

$16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2.3.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

ステップ 3.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

ステップ 3.2.5

$0$ に $- 1$ をかけます。

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

ステップ 3.2.6

$0$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$4 + 0$

ステップ 3.2.7

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 4

微分積分 例

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