微分積分例

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$

ステップ 1

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3 d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 5.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 5.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 \int x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{\frac{2}{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}}$ です。

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 (\frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}} + C) + \int 3 d x$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 (\frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}} + C) + 3 x + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{5}{7}$ と $x^{\frac{7}{5}}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 (\frac{5 x^{\frac{7}{5}}}{7} + C) + 3 x + C$

ステップ 10.2

簡約します。

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{10 x^{\frac{7}{5}}}{7} + 3 x + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{7} x^{\frac{7}{5}} + 3 x + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{7} x^{\frac{7}{5}} + 3 x + C$

微分積分 例

微分積分例