微分積分例

$f (x) = 3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$15 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$15 x^{4} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.5.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + 0$

ステップ 1.5.2

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ と $0$ をたし算します。

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{4}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + 0$

ステップ 2.4.2

$60 x^{3} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例