微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(x + h)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.8

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sqrt{x^{3} + 2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

$\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{x^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\sqrt{x^{3} + 2}$ から $\sqrt{x^{3} + 2}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ を ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ および $g (h) = {(x + h)}^{3} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x + h)}^{3} + 2$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x + h)}^{3} + 2$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 ${(x + h)}^{3} + 2$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.4

$f (h) = h^{3}$ および $g (h) = x + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.5

総和則では、 $x + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.6

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.8

$2$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.11

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.12

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.14

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.15

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.16

$3 {(x + h)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.17

$\frac{1}{2}$ と ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.18

$3$ と $\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.19

$\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と ${(x + h)}^{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x + h)}^{2}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

$- \sqrt{x^{3} + 2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \sqrt{x^{3} + 2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{3}{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2}}{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

ステップ 2.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

ステップ 2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

ステップ 2.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

ステップ 2.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

ステップ 2.6

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2}}$

ステップ 2.7

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

ステップ 2.8

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(x + h)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

ステップ 2.9

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

ステップ 2.10

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

ステップ 2.11

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

ステップ 3

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

ステップ 3.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

まとめる。

$\frac{3 {(x + 0)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

ステップ 4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

ステップ 4.3

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$

ステップ 4.4

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ に $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ をかけます。

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$

ステップ 4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ に $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2}}$

ステップ 4.5.2

$\sqrt{x^{3} + 2}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (\sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2})}$

ステップ 4.5.3

$\sqrt{x^{3} + 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} \sqrt{x^{3} + 2})}$

ステップ 4.5.4

$\sqrt{x^{3} + 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1})}$

ステップ 4.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}}$

ステップ 4.5.7

${\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}$ を $x^{3} + 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3} + 2}$ を ${(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {({(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{1}}$

ステップ 4.5.7.5

簡約します。

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (x^{3} + 2)}$

微分積分 例

微分積分例