微分積分例

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

代入し簡約します。

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ステップ 6.1.1

$8$ および $1$ で $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

ステップ 6.1.2

$8$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.4

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.5

$\frac{3}{4}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.6

$3$ に $16$ をかけます。

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.7

$48$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.7.1

$4$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.7.2.4

$12$ を $1$ で割ります。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.10

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.11

$12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.13

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.3.13.1

$12$ に $4$ をかけます。

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.13.2

$48$ から $3$ を引きます。

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.14

$- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.1.3.15

$- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

ステップ 6.1.3.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

ステップ 6.1.3.17

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

ステップ 6.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $8$ の間の距離は $8$ です。

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

ステップ 6.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

ステップ 6.3.3

$8$ を $1$ で割ります。

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

10進法形式：

$9.17055845 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例