微分積分例

${(1 + e^{x})}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 1 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 + e^{x}$ で置き換えます。

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

ステップ 4.3.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

ステップ 4.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

ステップ 4.3.2.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$

微分積分 例

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