微分積分例

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ を $\sec^{3} (x)$ に変換します。

$\int \sec^{3} (x) d x$

ステップ 5

$\sec (x)$ を $\sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 6

$u = \sec (x)$ と $d v = \sec^{2} (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

ステップ 7

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

ステップ 8

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

ステップ 10.2

$\tan^{2} (x)$ と $\sec (x)$ を並べ替えます。

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

ステップ 11

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 12

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 12.1

累乗法を積に書き換えます。

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

ステップ 12.3

$\sec (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

ステップ 13

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

ステップ 14

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

ステップ 16

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

ステップ 17

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

ステップ 18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

ステップ 19

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

ステップ 20

単一積分を複数積分に分割します。

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 21

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 22

$\sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 23

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

ステップ 23.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

ステップ 24

$\int \sec^{3} (x) d x$ を解くと、 $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

ステップ 25

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

ステップ 26

簡約します。

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

ステップ 27

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

微分積分 例

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