微分積分例

$f (x) = \frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{3}{20}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{20} x^{- 4}$ の微分係数は $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ です。

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{20} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$- 4$ と $\frac{3}{20}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.4

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 12}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 12}{20}$ と $x^{- 5}$ をまとめます。

$\frac{- 12 x^{- 5}}{20} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 5}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 12}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.7

$- 12$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3)}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

$4$ を $20 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3)}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot - 3}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + 2 x$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = 5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$20 x^{3} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- \frac{3}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{5 x^{5}}$ の微分係数は $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ です。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

ステップ 2.5.2

$\frac{1}{x^{5}}$ を ${(x^{5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

ステップ 2.5.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 2.5.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 2.5.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 2.5.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

ステップ 2.5.5

${(x^{5})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

ステップ 2.5.5.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

ステップ 2.5.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

ステップ 2.5.7

指数を足して $x^{- 10}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

$x^{4}$ を移動させます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

ステップ 2.5.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

ステップ 2.5.7.3

$4$ から $10$ を引きます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 6})$

ステップ 2.5.8

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + 5 (\frac{3}{5}) x^{- 6}$

ステップ 2.5.9

$5$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5} x^{- 6}$

ステップ 2.5.10

$5$ に $3$ をかけます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5} x^{- 6}$

ステップ 2.5.11

$\frac{15}{5}$ と $x^{- 6}$ をまとめます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15 x^{- 6}}{5}$

ステップ 2.5.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 6}$ を分母に移動させます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5 x^{6}}$

ステップ 2.5.13

$15$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.13.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

ステップ 2.5.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.13.2.1

$5$ を $5 x^{6}$ で因数分解します。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 (x^{6})}$

ステップ 2.5.13.2.2

共通因数を約分します。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

ステップ 2.5.13.2.3

式を書き換えます。

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{3}{x^{6}}$

ステップ 2.6

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$ です。

$20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$

微分積分 例

微分積分例