微分積分例

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (- 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} - 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.2.2

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\ln (- lim_{x \to - 2} 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.2.3

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.2.4.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (- 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.2.4.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

ステップ 1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

ステップ 1.3.1.4

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

ステップ 1.3.1.5

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = - 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 1 - x$ とします。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 1 - x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $- 1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.9

$\frac{1}{- 1 - x}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{- 1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.11.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - (x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.11.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.11.4

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - 2} \frac{- - \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.11.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{1 \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.11.6

$\frac{1}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

ステップ 3.12

総和則では、 $e^{x + 2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13

$\frac{d}{d x} [e^{x + 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.13.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.13.6

$e^{x + 2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.14

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + 0}$

ステップ 3.15

$e^{x + 2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{e^{x + 2}}$

ステップ 5

$\frac{1}{1 + x}$ に $\frac{1}{e^{x + 2}}$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{(1 + x) e^{x + 2}}$

ステップ 6

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

ステップ 7

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

ステップ 8

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 1 + x \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

ステップ 9

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{(lim_{x \to - 2} 1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

ステップ 10

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

ステップ 11

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

ステップ 12

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}}$

ステップ 13

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

ステップ 14

すべての $x$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

ステップ 14.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{- 2 + 2}}$

ステップ 15

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{- 1 e^{- 2 + 2}}$

ステップ 15.1.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{- 1 e^{0}}$

ステップ 15.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 15.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 15.3

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

微分積分例