微分積分例

$y = \ln (x + y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$ の因数を並べ替えます。

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

ステップ 3.4.2

$1 + y'$ に $\frac{1}{x + y}$ をかけます。

$\frac{1 + y'}{x + y}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $x + y$ を掛けます。

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$x + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

ステップ 5.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' x + y' y = 1 + y'$

ステップ 5.2.2.1.2

$1$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' x + y' y = y' + 1$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y'$ を引きます。

$y' x + y' y - y' = 1$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $y' x + y' y - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y'$ を $y' x$ で因数分解します。

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $y' y$ で因数分解します。

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

ステップ 5.3.2.4

$y'$ を $y' (x) + y' (y)$ で因数分解します。

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

ステップ 5.3.2.5

$y'$ を $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (x + y - 1) = 1$

ステップ 5.3.3

$y' (x + y - 1) = 1$ の各項を $x + y - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$y' (x + y - 1) = 1$ の各項を $x + y - 1$ で割ります。

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$x + y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$

微分積分 例

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