微分積分例

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

ステップ 1

$u = 1 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 1.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 1.2

$u = 1 - 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 - 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 2$

ステップ 1.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

ステップ 5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ および $1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

ステップ 6.2

簡約します。

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

ステップ 7.3

$\frac{1}{e}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

ステップ 7.4

$- \frac{1}{2} (- e)$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

ステップ 7.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

ステップ 7.4.3

$\frac{1}{2}$ と $e$ をまとめます。

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

ステップ 7.5

$2$ を $e$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

10進法形式：

$1.17520119 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例