微分積分例

$\int 15 x^{4} {(3 x^{5} - 9)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = 3 x^{5} - 9$ とします。次に $d u = 15 x^{4} d x$ すると、 $\frac{1}{15 x^{4}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x^{5} - 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x^{5} - 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} - 9]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x^{5} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$15 x^{4} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$15 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$15 x^{4}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $3 x^{5} - 9$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(3 x^{5} - 9)}^{3} + C$

微分積分 例