微分積分例

$f (x) = 8 \cos (x) + 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $8 \cos (x) + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \cos (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$8 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 \sin (x) + 0$

ステップ 1.3.2

$- 8 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$- 8 \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 \sin (x)$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 8 \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 8 \sin (x) = 0$

ステップ 4

$- 8 \sin (x) = 0$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- 8 \sin (x) = 0$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{0}{- 8}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 8$ で割ります。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 8

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 9

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 10

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 8 \cos (0)$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 8 \cdot 1$

ステップ 11.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8$

ステップ 12

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 13

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 8 \cos (0) + 2$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 8 \cdot 1 + 2$

ステップ 13.2.1.2

$8$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 8 + 2$

ステップ 13.2.2

$8$ と $2$ をたし算します。

$f (0) = 10$

ステップ 13.2.3

最終的な答えは $10$ です。

$y = 10$

ステップ 14

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 8 \cos (π)$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 15.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 8 (- \cos (0))$

ステップ 15.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 8 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.3

$- 8 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 15.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 8 \cdot - 1$

ステップ 15.3.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$8$

ステップ 16

$x = π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極小値です

ステップ 17

$x = π$ のときy値を求めます。

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ステップ 17.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = 8 \cos (π) + 2$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

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ステップ 17.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 17.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = 8 (- \cos (0)) + 2$

ステップ 17.2.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = 8 (- 1 \cdot 1) + 2$

ステップ 17.2.1.3

$8 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 17.2.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = 8 \cdot - 1 + 2$

ステップ 17.2.1.3.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f (π) = - 8 + 2$

ステップ 17.2.2

$- 8$ と $2$ をたし算します。

$f (π) = - 6$

ステップ 17.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 18

$f (x) = 8 \cos (x) + 2$ の極値です。

$(0, 10)$ は極大値です

$(π, - 6)$ は極小値です

ステップ 19

微分積分 例

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