微分積分例

$f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ です。

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 0.3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 0.3 t^{3}$ の微分係数は $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 0.3$ をかけます。

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d t} [80 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$80$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $80 t$ の微分係数は $80 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 1.3.3

$80$ に $1$ をかけます。

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$425$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $425$ の微分係数は $0$ です。

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

ステップ 1.4.2

$- 0.9 t^{2} + 80$ と $0$ をたし算します。

$- 0.9 t^{2} + 80$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 0.9 t^{2} + 80$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [80]$ です。

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 0.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (80)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 0.9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 0.9 t^{2}$ の微分係数は $- 0.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$f'' (t) = - 0.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (80)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (t) = - 0.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (80)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 0.9$ をかけます。

$f'' (t) = - 1.8 t + \frac{d}{d t} (80)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$80$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $80$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (t) = - 1.8 t + 0$

ステップ 2.3.2

$- 1.8 t$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = - 1.8 t$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ です。

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 0.3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 0.3 t^{3}$ の微分係数は $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $- 0.3$ をかけます。

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d t} [80 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$80$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $80 t$ の微分係数は $80 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 4.1.3.3

$80$ に $1$ をかけます。

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$425$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $425$ の微分係数は $0$ です。

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$- 0.9 t^{2} + 80$ と $0$ をたし算します。

$f' (t) = - 0.9 t^{2} + 80$

ステップ 4.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $- 0.9 t^{2} + 80$ です。

$- 0.9 t^{2} + 80$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 0.9 t^{2} + 80 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $80$ を引きます。

$- 0.9 t^{2} = - 80$

ステップ 5.3

$- 0.9 t^{2} = - 80$ の各項を $- 0.9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- 0.9 t^{2} = - 80$ の各項を $- 0.9$ で割ります。

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 0.9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

ステップ 5.3.2.1.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} = \frac{- 80}{- 0.9}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 80$ を $- 0.9$ で割ります。

$t^{2} = 88.\overline{8}$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$t = \pm \sqrt{88.\overline{8}}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

ステップ 8

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

ステップ 9

$- 1.8$ に $\sqrt{88.\overline{8}}$ をかけます。

$- 16.97056274$

ステップ 10

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ は極大値です

ステップ 11

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $t$ を $\sqrt{88.\overline{8}}$ で置換えます。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(\sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ を $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 11.2.1.2

$88.\overline{8}$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 11.2.1.3

$- 0.3$ に $\sqrt{702331.96159122}$ をかけます。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 251.41574442 + 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

ステップ 11.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$- 251.41574442$ と $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ をたし算します。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 502.83148884 + 425$

ステップ 11.2.2.2

$502.83148884$ と $425$ をたし算します。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 927.83148884$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $927.83148884$ です。

$y = 927.83148884$

ステップ 12

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$

ステップ 13

$- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 1$ に $- 1.8$ をかけます。

$1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

ステップ 13.2

$1.8$ に $\sqrt{88.\overline{8}}$ をかけます。

$16.97056274$

ステップ 14

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ は極小値です

ステップ 15

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $t$ を $- \sqrt{88.\overline{8}}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(- \sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{88.\overline{8}}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 15.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 15.2.1.3

${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ を $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 15.2.1.4

$88.\overline{8}$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{702331.96159122}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 15.2.1.5

$- 0.3 (- \sqrt{702331.96159122})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.5.1

$- 1$ に $- 0.3$ をかけます。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 15.2.1.5.2

$0.3$ に $\sqrt{702331.96159122}$ をかけます。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

ステップ 15.2.1.6

$- 1$ に $80$ をかけます。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 - 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

ステップ 15.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$251.41574442$ から $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ を引きます。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 502.83148884 + 425$

ステップ 15.2.2.2

$- 502.83148884$ と $425$ をたし算します。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 77.83148884$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 77.83148884$ です。

$y = - 77.83148884$

ステップ 16

$f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ の極値です。

$(\sqrt{88.\overline{8}}, 927.83148884)$ は極大値です

$(- \sqrt{88.\overline{8}}, - 77.83148884)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例