微分積分例

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

ステップ 1

$r$ が $- \frac{3}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

ステップ 3

$r$ が $- \frac{3}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

ステップ 4

$r$ が $- \frac{3}{2}$ に近づくと定数である $31$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

ステップ 5

$12$ の項は $r$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $r^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

ステップ 7

$r$ が $- \frac{3}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

ステップ 8

$16$ の項は $r$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $r^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

ステップ 10

$r$ が $- \frac{3}{2}$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

ステップ 11

すべての $r$ に $- \frac{3}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$r$ を $- \frac{3}{2}$ に代入し、 $r$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

ステップ 11.2

$r$ を $- \frac{3}{2}$ に代入し、 $r$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.3

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.6.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.6.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.7

$- 3$ に $9$ をかけます。

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.8

$31$ から $27$ を引きます。

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

ステップ 12.2

分母を簡約します。

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ステップ 12.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

ステップ 12.2.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

ステップ 12.2.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

ステップ 12.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

ステップ 12.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

ステップ 12.2.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

ステップ 12.2.5.2

$8$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

ステップ 12.2.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

ステップ 12.2.5.4

式を書き換えます。

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

ステップ 12.2.6

$2$ に $- 27$ をかけます。

$\frac{2}{- 54 + 10}$

ステップ 12.2.7

$- 54$ と $10$ をたし算します。

$\frac{2}{- 44}$

ステップ 12.3

$2$ と $- 44$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{- 44}$

ステップ 12.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$2$ を $- 44$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

ステップ 12.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

ステップ 12.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 22}$

ステップ 12.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{22}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{22}$

10進法形式：

$- 0.0\overline{45}$

微分積分 例

微分積分例