微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (4 - x) (x - 5)}{13 (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 1

$\frac{4}{13}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (x - 5)}{(x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} (4 - x) (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 (x - 5) - x (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x \cdot x - x \cdot - 5}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.4.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1} x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1} x^{1} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1 + 1} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{2} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.8.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.2.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{2} + 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.8.2.2

$- 20$ を移動させます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - x^{2} + 5 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.8.2.3

$4 x$ を移動させます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 4 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.8.3

$5 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 9 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.2.9

首位係数が負である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x (x + 8) - 1 (x + 8)}$

ステップ 2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 8 - 1 (x + 8)}$

ステップ 2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 8 - 1 x - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ と $8$ を並べ替えます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 8 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.1.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.1.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.1.3.8.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 8 x - 1 x - 8}$

ステップ 2.1.3.8.3

$8 x$ から $1 x$ を引きます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 7 x - 8}$

ステップ 2.1.3.9

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.3.10

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (x - 5)}{(x - 1) (x + 8)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 - x) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 - x) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = 4 - x$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.7

$4 - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.8

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.14

$- 1$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - 1 \cdot (x - 5)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.15

$- 1 (x - 5)$ を $- (x - 5)$ に書き換えます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - (x - 5)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - x - - 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.16.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.2.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - x + 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.16.2.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - 2 x + 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.16.2.3

$4$ と $5$ をたし算します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

ステップ 2.3.17

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 8] + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.18

総和則では、 $x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.20

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (1 + 0) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.21

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) \cdot 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.22

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.23

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 2.3.24

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 2.3.25

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (1 + 0)}$

ステップ 2.3.26

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) \cdot 1}$

ステップ 2.3.27

$x + 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + x + 8}$

ステップ 2.3.28

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{2 x - 1 + 8}$

ステップ 2.3.29

$- 1$ と $8$ をたし算します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{2 x + 7}$

ステップ 3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

ステップ 4.1.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

ステップ 4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

ステップ 4.2.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{2 + \frac{7}{x}}$

ステップ 4.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - 2 + \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

ステップ 4.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

ステップ 4.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

ステップ 4.6

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

ステップ 6.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

ステップ 6.3

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + 7 \cdot 0}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$9$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 0}{2 + 7 \cdot 0}$

ステップ 8.1.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2 + 7 \cdot 0}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2 + 0}$

ステップ 8.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

ステップ 8.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2)}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

ステップ 8.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{13} \cdot - 2$

ステップ 8.4

$\frac{2}{13}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot - 2}{13}$

ステップ 8.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 4}{13}$

ステップ 8.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{13}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{4}{13}$

10進法形式：

$- 0.\overline{307692}$

微分積分 例

微分積分例