微分積分例

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

ステップ 1

$2 x^{2} + x + 4$ を $x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

ステップ 1.2

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

ステップ 1.7

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x - 3$ の符号をすべて変更します。

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

ステップ 7

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 8

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u = x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 1$

ステップ 8.3

$3$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 2$

ステップ 8.4

$u = x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - 1$

ステップ 8.5

$5$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 4$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

ステップ 10

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$5$ および $3$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

ステップ 10.2

$5$ および $3$ で $3 x$ の値を求めます。

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

ステップ 10.3

$4$ および $2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$5$ を $2$ 乗します。

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.2

$3$ を $2$ 乗します。

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.3

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.4

$25$ から $9$ を引きます。

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.5

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.5.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.5.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.5.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.5.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.6

$2$ に $8$ をかけます。

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.7

$3$ に $5$ をかけます。

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.8

$- 3$ に $3$ をかけます。

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.9

$15$ から $9$ を引きます。

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 10.4.10

$16$ と $6$ をたし算します。

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

ステップ 11

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

ステップ 12.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

ステップ 12.3

$4$ を $2$ で割ります。

$22 + 7 \ln (2)$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$22 + 7 \ln (2)$

10進法形式：

$26.85203026 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例