微分積分例

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{u}{2}$ で割ります。

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.1.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{2}{u}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.1.3

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.1.4

$\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.1.5

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.6.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.1.6.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.3.2

指数を足して $u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 5.3.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.3.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.4.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.4.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.4.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 5.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 8.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 8.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

ステップ 10.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

ステップ 10.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

微分積分 例

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