微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

ステップ 1

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

ステップ 1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 5) + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ と $- 5$ を並べ替えます。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.8.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.8.3

$- 5 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.2.9

首位係数が正である偶数次数の多項式の負の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.1.3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 13 \cdot 3}$

ステップ 2.1.3.1.2

$13$ に $3$ をかけます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 39}$

ステップ 2.1.3.2

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.7

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.8

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.12

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + x - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.13

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2 - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.14

$2$ から $5$ を引きます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

ステップ 2.3.15

$13$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $13 (x + 3)$ の微分係数は $13 \frac{d}{d x} [x + 3]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 2.3.16

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

ステップ 2.3.17

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

ステップ 2.3.18

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + 0)}$

ステップ 2.3.19

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \cdot 1}$

ステップ 2.3.20

$13$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13}$

ステップ 3

分数 $\frac{2 x - 3}{13}$ を2つの分数に分割します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{13} + \frac{- 3}{13}$

ステップ 4

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$- \infty$

微分積分 例

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