微分積分例

$\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{2 y^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.10

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.11

$\frac{- 2}{2}$ と $y^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 2}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.13

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.2.1

$2$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 2.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{16}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{4}}{16}$ の微分係数は $\frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} (4 y^{3})$

ステップ 3.3

$4$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4}{16} y^{3}$

ステップ 3.4

$\frac{4}{16}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{16}$

ステップ 3.5

$4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$4$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 (y^{3})}{16}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{4}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{y^{3}}{4} - \frac{1}{y^{3}}$

微分積分 例

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