微分積分例

$4 + x y - 4 x = 5 y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 + x y - 4 x) = \frac{d}{d x} (5 y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $4 + x y - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$0 + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + x y' + y - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x y' + y - 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 + x y' + y - 4$

ステップ 2.4

$0$ と $x y' + y$ をたし算します。

$x y' + y - 4$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + y - 4 = 5 y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $5 y'$ を引きます。

$x y' + y - 4 - 5 y' = 0$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' - 4 - 5 y' = - y$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x y' - 5 y' = - y + 4$

ステップ 5.3

$y'$ を $x y' - 5 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x - 5 y' = - y + 4$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- 5 y'$ で因数分解します。

$y' x + y' \cdot - 5 = - y + 4$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' x + y' \cdot - 5$ で因数分解します。

$y' (x - 5) = - y + 4$

ステップ 5.4

$y' (x - 5) = - y + 4$ の各項を $x - 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (x - 5) = - y + 4$ の各項を $x - 5$ で割ります。

$\frac{y' (x - 5)}{x - 5} = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x - 5)}{x - 5} = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y + 4}{x - 5}$

ステップ 5.4.3.2

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y) + 4}{x - 5}$

ステップ 5.4.3.3

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 4)}{x - 5}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y - 4)}{x - 5}$

ステップ 5.4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.4.3.5.1

$- (y - 4)$ を $- 1 (y - 4)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y - 4)}{x - 5}$

ステップ 5.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y - 4}{x - 5}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 4}{x - 5}$

微分積分 例

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