微分積分例

$\frac{1}{x (x + 1)}$

ステップ 1

$\frac{1}{x (x + 1)}$ を ${(x (x + 1))}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x (x + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x (x + 1)$ で置き換えます。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

ステップ 4.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.6.1

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

ステップ 4.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

ステップ 5.2

積の法則を $x (x + 1)$ に当てはめます。

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

ステップ 5.3

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 2 x - 1$ に $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.10

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.11

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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