微分積分例

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$θ$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$θ$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.2.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.2.2

$θ$ を $0$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ の項は $θ$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

ステップ 1.1.3.2

$θ$ を $0$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \cos (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $- \cos (θ)$ の微分係数は $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.4.2

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - - \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.4.4

$\sin (θ)$ に $1$ をかけます。

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $\sin (θ)$ をたし算します。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

ステップ 1.3.6

$f (θ) = \sin (θ)$ および $g (θ) = 2 θ$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 θ$ とします。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

ステップ 1.3.6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

ステップ 1.3.6.3

$u$ のすべての発生を $2 θ$ で置き換えます。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

ステップ 1.3.7

$2$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $2 θ$ の微分係数は $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

ステップ 1.3.10

$2$ を $\cos (2 θ)$ の左に移動させます。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $θ$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ)}$

ステップ 2.2

$θ$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

ステップ 2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

ステップ 2.5

$2$ の項は $θ$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

ステップ 3

すべての $θ$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$θ$ を $0$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

ステップ 3.2

$θ$ を $0$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0)}$

ステップ 4.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

ステップ 4.3

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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