微分積分例

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$v$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2.3

$v$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2.4

$v$ が $- 3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2.5

$v$ が $- 3$ に近づくと定数である $\sqrt{7}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$v$ を $- 3$ に代入し、 $v$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{4 + 3} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2.6.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$\sqrt{7}$ から $\sqrt{7}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$v$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + lim_{v \to - 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.2

$v$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

ステップ 1.1.3.2

$v$ を $- 3$ に代入し、 $v$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 3 + 3}$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3} = lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]$ です。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - v}$ を ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [{(4 - v)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ および $g (v) = 4 - v$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - v$ とします。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - v$ で置き換えます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $4 - v$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]$ です。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.4

$4$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.5

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $- v$ の微分係数は $- \frac{d}{d v} [v]$ です。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d v} [v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.13

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.14

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.15

$\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.16

$- 1$ を ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1 \cdot {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.17

$- 1 {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.3.19

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.4

$- \sqrt{7}$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- \sqrt{7}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.5

$- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $v + 3$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$ です。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d v} [3]}$

ステップ 1.3.8

$3$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{4 - v}$ に書き換えます。

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $v$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{v \to - 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ の項は $v$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{v \to - 3} \frac{1}{\sqrt{4 - v}}$

ステップ 2.3

$v$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{v \to - 3} 1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

ステップ 2.4

$v$ が $- 3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v}}$

ステップ 2.6

$v$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v}}$

ステップ 2.7

$v$ が $- 3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v}}$

ステップ 2.8

項を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$v$ を $- 3$ に代入し、 $v$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 3}}$

ステップ 2.8.2

答えを簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$4$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

ステップ 2.8.2.2

$\frac{1}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

ステップ 2.8.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.8.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 2.8.2.3.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

ステップ 2.8.2.3.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

ステップ 2.8.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.8.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 2.8.2.3.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.8.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.8.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.8.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.8.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

ステップ 2.8.2.3.6.5

指数を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

ステップ 2.8.2.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$ を掛けます。

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ステップ 2.8.2.4.1

$\frac{\sqrt{7}}{7}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{7}}{7 \cdot 2}$

ステップ 2.8.2.4.2

$7$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

10進法形式：

$- 0.18898223 \dots$

微分積分 例

微分積分例