微分積分例

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

ステップ 1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ を $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

ステップ 2.2

$\cot (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

ステップ 3

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

ステップ 4

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

ステップ 5

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

ステップ 6

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ の極限は $0$ です。

$0$

ステップ 7

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

ステップ 8

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

ステップ 9

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ の極限は $0$ です。

$e^{0}$

ステップ 10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

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