微分積分例

$f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 7.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

ステップ 10

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に変換します。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \csc^{2} (x) d x)$

ステップ 11.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 \int \csc^{2} (x) d x$

ステップ 12

$- \cot (x)$ の微分係数が $\csc^{2} (x)$ なので、 $\csc^{2} (x)$ の積分は $- \cot (x)$ です。

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 (- \cot (x) + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} - 5 (- \cot (x)) + C$

ステップ 13.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$

微分積分 例

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